Введение в анализ. Предел последовательности.

Содержание:

  1. Элементы теории множеств
    1. Понятие множества
    2. Операции над множествами
    3. Свойства операций над множествами
    4. Функции и отображения
    5. Виды отображений
    6. Мощность множеств
  2. Пространство действительных чисел
    1. Аксиоматика действительных чисел
    2. Числовые множества. Ограниченное множество. Принцип верхней грани
  3. Предел последовательности
    1. Предел последовательности. Основные определения и примеры
    2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства
    3. Свойства предела последовательности
    4. Фундаментальные последовательности
    5. Монотонные последовательности
    6. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.
    7. Приложение последовательностей в экономике

I. Элементы теории множеств

Понятие множества

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ...,M, K,... . Если множество A состоит из элементов a,b,c,..., это обозначается с помощью фигурных скобок: A={a,b,c,...,} . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a О A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a П A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N={1,2,3,...,} . Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Ж.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Определение 1 (определение равенства множеств). Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x О A следует x О B и обратно, из x О B следует x О A.

Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

(А=В):= " x((x О A) Ы (x О B)),
это означает, что для любого объекта x соотношения xО A и xО B равносильны.

Здесь " – квантор всеобщности (" x читается как "для каждого x").

Определение 2 (определение подмножества). Множество А является подмножеством множества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

(A М B) := " x ((xО A) Ю (x О B))
Если AМ B, но A B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество {2,4,6,..., 2n,...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами.

  1. Объединение.
    (рис. 1)

    C=A И B: = {x:x О A или x О B}


    Пример 2. Решить неравенство

    |2x+1| > 3.

    Из данного неравенства следует либо неравенство

    2x+1>3
    в случае, когда 2x+1і 0, тогда x>1, либо неравенство
    2x+1<-3,
    в случае, когда 2x+1<0, тогда x<-2.

    Множеством решений исходного неравенства является объединение найденных промежутков решения (-Ґ,-2)И (1,+Ґ).

    Пример 3. A = {1; 3; 5; 7; ...; 2n-1; ....} — нечетные числа

    B = {2; 4; 6; 8; ....; 2n; ...} — четные числа

    A И B = {1; 2; 3; ...; n; ......} — натуральный ряд

  2. Пересечение.
    (рис. 2)

    C=A З B:= {x: x О A и x О B }


    Пример 4. A={2,4,...,2n,...}, B={3,6,9,...,3n,...}. Тогда C=AЗ B={6,12,...,6n,...}.

  3. Вычитание.
    (рис. 3)

    A \ B: = {x:x О A и x П B}


  4. Дополнение.
    (рис.4)

    Пусть U — универсальное множество ( все остальные множества принадлежат U)

    A = CA: = {x:x О U и x П A} = U \ A


  5. Симметрическая разность.
    (рис. 5)

    A D B:= (A \ B) И (B \ A) = (A И B) \ (A З B)


Свойства операций над множествами.

Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами:
  1. Коммутативность.

    A И B=B И A
    A
    З B=B З A

  2. Ассоциативность.

    (A И B) И C=A И (B И C)
    (A З B) З C= A З (B З C)

  3. Дистрибутивность.

    (A И B) З C = (A З C) И (B З C)
    (A З B) И C= (A И C) З (B И C)

  4. A И A=A, A З A=A
    A
    И Ж = A, A З Ж= Ж

  5. Законы де Моргана (законы двойственности).

    1) A И B= A З B
    2) A З B= A И B

    Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.

Заметим, что закон ассоциативности при комбинировании операций объединения и вычитания, вообще говоря, не имеет места.

Пример 5. A = {1; 2; 3; 4}
B = {3; 4; 5; 6}
A \ B= {1; 2}
(A \ B) И B= {1; 2; 3; 4; 5; 6} A
Но (A \ B) И B= A Ы B М A

Определение 3 (декартово произведение).

Декартово произведение двух множеств:

X ґ Y: = {(x,y): x О X и y О Y}

Из определения декартова произведения следует, что, вообще говоря,

X ґ Y Y ґ X,
равенство будет, если X = Y, в этом случае вместо Xґ X записывают X2.

Пример 6.
(рис. 6)

[a; b] ґ [c; d]


Пример 7. R ґ R= R2 — плоскость, где R–множество действительных точек на прямой.

R ґ R ґ R= R3 — пространство

Функции и отображения.

Определение 4. Функцией f , действующей из множества X в множество Y (f: X ® Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу x О X ставится в соответствие один или несколько y О Y. Если каждому x ставится в соответствие один y , то функция называется однозначной.

Определение 5. Образом множества A М X при отображении
f:X ® Y называют множество

f(A): = {y О Y: $ x О A и y = f(x)}

Пример 8. y = x2; A = [0,1]; f(A) = [0,1]

Определение 6. Множество

f-1 (B): = {x О X:f(x) О B}
тех элементов X, образы которых содержатся в B, называется прообразом множества B.

Определение 7. Бинарным отношением называется множество упорядоченных пар (x,y)

Если x связан с y отношением R, то это обозначают как xRy.

Определение 8. Отношение называется функциональным, если

(xRy1) и (xRy2)Ю (y1 = y2).

График функции f:X® Y - это подмножество Xґ Y

Г: = {(x,y)О Xґ Y, y = f(x) }.

Виды отображений.

Определение 9 (инъекция, сюръекция, биекция).

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x1, x2 О X, для которых f(x1) = f(x2) следует, что x1 = x2. (рис. 7)


Сюръекцией (или отображением "на" ) называется отображение, при котором f(X) = Y (рис. 8).


Биекция – это одновременно и сюръекция и инъекция (рис.9).


Пример 9.

  1. y = x2, R ® R+ (R+–множество действительных положительных чисел) – сюръекция, но не инъекция, так как разным x соответствуют одинаковые y.
  2. , R+ ® R+ – инъекция, но не сюръекция, так как
    0Ј y<1 для любых xі 0.
  3. Отображение y = 4x+7 числовой оси (-Ґ,Ґ) на себя – биекция.

Если определены отображения f:X® Y и g:Y® Z, то можно задать композицию этих отображений: g ° f :X® Z, значения которой определяются формулой (g° f)(x) = g(f(x)). (рис. 10)


Мощность множеств.

Как мы можем сравнить два конечных множества? Мы можем, например, сосчитать количество элементов в каждом из них и таким образом сравнить. Но можно поступить иначе, попытаться установить биекцию между элементами. Ясно, что биекцию между двумя конечными множествами можно установить только при условии что количество элементов в них одинаково. Именно второй способ годится для сравнения бесконечных множеств. Среди бесконечных множеств простейшим является множество натуральных чисел.

Определение 10 (эквивалентные множества). Два множества
эквивалентны, если между их элементами можно установить биективное отображение. Это обозначается следующим образом

A ~ B.

Пример 10.

[a,b] ~ [0,1],
что легко проверить, установив биекцию по формуле y = a+(b-a)x, где xО [0,1].

Определение 11 (определение счетного множества). Счетное
множество — это множество, эквивалентное множеству натуральных чисел.

Рассмотрим примеры счетных множеств.

Пример 11.

  1. Множество всех целых чисел
    Z = { 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,...,}.
    Соответствие между целыми и натуральными числами можно осуществить по схеме
    n « 2n+1 при nі 0, n « 2|n| при n<0.
  2. Множество всех четных положительных чисел. Соответствие по формуле n « 2n.
  3. Множество чисел 2n. Соответствие осуществляется по формуле n « 2n.

Приведем некоторые свойства счетных множеств.

Теорема 1 (свойства счетных множеств).

  1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
  2. Сумма любого конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множества.
  3. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Существуют и несчетные множества. Справедлива

Теорема 2 (теорема Кантора). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Приведем примеры несчетных множеств.

Пример 12.

  1. Множество точек любого отрезка [a,b] или интервала (a,b).
  2. Множество точек на прямой.
  3. Множество точек плоскости, пространства.
  4. Множество иррациональных чисел.

Определение 12 (определение мощности множества). Класс
эквивалентных множеств называется мощностью.

Если множества эквивалентны, то их мощности равны, то есть

A ~ B Ю cardA = cardB,
где card A — мощность множества A. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов множества. Мощность натуральных чисел (т.е. любого счетного множества) обозначается А0 (читается: "алеф нуль").

Про множества, эквивалентные множеству действительных чисел отрезка [0,1], говорят, что они имеют мощность континуума. Эта мощность обозначается c или А.

II Пространство действительных чисел.

Аксиоматика действительных чисел.

Определение 13 (пространство действительных чисел). Множество R называется пространством действительных чисел, а его элементы – действительными числами, если выполнены следующие аксиомы:

Аксиома 1 (сложения).

" (x, y) О Rґ R $ z = x+y О R
называемый суммой x и y . (Cимвол $ означает квантор существования и читается "существует".) При этом выполнены следующие свойства:
  1. $ нейтральный элемент 0, называемый нулем, такой, что для любого xО R
    x+0=0+x = x
  2. Для любого элемента xО R существует элемент -x О R , называемый противоположным к x, такой, что
    x+(-x) = (-x)+x = 0
  3. Операция сложения ассоциативна, т.е. для любых x,y,zО R выполнено условие
    (x+y)+z = x+(y+z)
  4. Операция сложения коммутативна, т.е. для любых x,y О R
    y+x = x+y

Аксиома 2 (умножения). " (x,y)О Rґ R ставится в соответствие элемент z = x· y О R, называемый произведением, при этом выполнены следующие условия

  1. Существует нейтральный элемент 1О R\ 0 называемый единицей, такой, что " x О R
    1=1· x = x.
  2. Для любого элемента xО R\ 0 найдется элемент x-1О R \ 0, называемый обратным, такой, что
    x· x-1 = x-1· x = 1.
  3. Операция умножения ассоциативна, т.е. " x,y,zО R\ 0
    (y· z) = (x· y)· z.
  4. Операция умножения коммутативна, т.е. для любых x,yО R\ 0
    x· y = y· x.

Аксиома 3 (порядка). Между элементами множества R имеется отношение Ј, т.е. для элементов x,yО R установлено x Ј y или нет. При этом выполняются следующие условия:

  1. x Ј x
  2. x Ј y и y Ј x Ю y = x
  3. x Ј y и y Ј z Ю x Ј z
  4. " x,y О R xЈ y или yЈ x.

Аксиома 4 (связь порядка и сложения). Если x,y,z О R, то из x Ј y следует, что x+z Ј y+z

Аксиома 5 (связь порядка и умножения). Если

x і 0, y і 0, то x · y і 0

Аксиома 6 (непрерывности). Если X,Y М R -непустые, и при " x О X и " y О Y, выполнено условие x Ј y, то $ c О R: x Ј c Ј y.

Числовые множества. Ограниченное множество. Принцип верхней грани.

Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой. Между точками числовой прямой и множеством действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке числовой прямой соответствует действительное число и наоборот. Множество всех действительных чисел будем называть числовой прямой и обозначать символом (-Ґ,Ґ) или R. Приведем примеры часто используемых числовых множеств. [a,b]={x О R, a Ј x Ј b} —отрезок
(a,b) = {x О R, a <x <b } — интервал
(a,b]= {x О R, a <x Ј b } — полуинтервал
[a,b) = {x О R, a Ј x < b } — полуинтервал

Определение 14. Окрестностью точки x называется любой интервал, содержащий эту точку.

Окрестность точки x будем обозначать следующим образом U(x).

Определение 15. Ue(x0) эпсилон окрестностью точки x0 называется интервал длины 2e с центром в точке x0

|x-x0| < e

(рис.11)


Определение 16. Расстоянием в R между x и y называется r (x,y) = |x-y|.

Определение 17 (ограниченное множество). Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если для всех элементов из X, существует такое число a, что x Ј a (x і a).
Множество X называется ограниченным, если найдутся a и b: " x О X, a Ј x Ј b, x О [a,b].

Эквивалентное определение ограниченного множества можно сформулировать следующим образом.

Определение 18. Множество X ограничено, если существует такое число c>0, что для всех xО X выполнено неравенство |x| Ј c.

Приведем примеры, иллюстрирующие данные понятия.

Пример 13.

  1. Множество N натуральных чисел ограничено снизу и не ограничено сверху.
  2. Любой конечный отрезок [a,b] или интервал (a,b) ограничен.
  3. Числовая прямая R есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.

Определение 19. Элемент c О X называется максимальным (минимальным), если " x О X, x Ј c (x і c) .

Рассмотрим следующие примеры

Пример 14.

  1. Множество целых чисел
    Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
    не имеет ни максимального элемента, ни минимального.
  2. Множество натуральных чисел
    N = {1,2,3,...}
    имеет минимальный элемент, равный единице, но не имеет максимального.
  3. Отрезок [a,b] имеет как минимум, равный a , так и максимум, равный b.
  4. Интервал (a,b) не имеет ни максимума, ни минимума.

Пусть множество X ограничено сверху. Тогда оно имеет бесконечное множество верхних граней. Действительно, если S – верхняя грань X, то и любое число S'>S также является верхней гранью. Наименьшая из верхних граней множества X называется точной верхней гранью множества X. Обозначается точная верхняя грань через sup X (супремум).

Учитывая вышесказанное, можно дать эквивалентное определение точной верхней грани.

Определение 20 (определение точной верхней грани). Число S называется точной верхней гранью множества X (S = sup X), если выполняются следующие свойства:

  1. xЈ S " x О X ;
  2. " e>0 $ xe>S-e.

Аналогично определяется и точная нижняя грань, которая обозначается inf X (инфимум).

Определение 21 (определение точной нижней грани). Число I называется точной нижней гранью множества X (I = inf X), если выполняются следующие свойства:

  1. xі I " x О X ;
  2. " e>0 $ xe<I+e.

В случае, когда множество X имеет максимум или минимум, то они совпадают соответственно с sup X и inf X. Если множество X не ограничено сверху, то будем считать, что sup X = Ґ. Аналогично, если множество не ограничено снизу, то inf X = -Ґ. Проиллюстрируем эти понятия на примерах.

Пример 15.

  1. Для множества натуральных чисел N
    inf N = min N = 1, sup N = Ґ
  2. X = {n/n+1, n О N }={1/2,2/3,3/4,....} inf X = min X = 1/2, sup X = 1. Отметим, что 1 не принадлежит данному множеству. Покажем, что sup X = 1 на основании определения. Очевидно, что . Проверим, что " e >0 $ xe>1-e. Для этого решим неравенство
    Отсюда . Таким образом при любом e >0 $ ne, которое можно найти. Задавая e можно определить n, зависящее от e.

Теорема 3 (принцип верхней грани). Всякое не пустое ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет единственную точную верхнюю грань.

Доказательство. Y = {y О R: " x О X, x Ј y } — множество верхних границ. По аксиоме полноты $ c О R, x Ј c Ј y т.е. c О Y, c = min Y Ю c = sup X



Справедлива аналогичная теорема

Теорема 4. Всякое не пустое ограниченное снизу подмножество множества действительных чисел имеет единственную точную нижнюю грань.

III Предел последовательности.

Предел последовательности. Основные определения и примеры.

Определение 22 (определение последовательности). Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N® R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: xn = f(n). Обозначают числовую последовательность {xn}. Примеры числовых последовательностей:

Пример 16. 1) 1,2,..., n,...;
2) 1,-1,1,-1,...,(-1)n,...;
3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....

Определение 23.

  1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если $ M (m), такое, что для любого nО N xnЈ M (xnі m).
  2. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть $ c > 0 такое, что |xn| Ј c для любого nО N. Заметим, что в данном определении c=max{|m|,|M|}.

Пример 17.

  1. 1,2,...,n,... — ограничена снизу, но неограничена сверху;
  2. {1/n} – ограничена, так как 0< xnЈ 1 ;
  3. {(-1)n} – ограничена

Определение 24. Последовательность xn называется неограниченной, если

" c>0 $ N: |xN| > c

Неограниченная последовательность может быть односторонне ограниченной, то есть ограниченной или сверху, или снизу. Пример неограниченной сверху последовательности: xn = n.

Понятие предела числовой последовательности хорошо иллюстрируется на следующем примере. Пусть задана последовательность xn = 1/n. Изобразим ее члены точками на числовой оси (рис. 12).


Можно заметить, что члены последовательности с ростом номера n как угодно близко приближаются к 0. При этом величина xn становится все меньше и меньше. Очевидно, что пределом данной последовательности будет 0.

Дадим строгое определение предела числовой последовательности.

Определение 25 (определение предела последовательности). Число A называется пределом последовательности xn, если

" U(A) $ N: " n > N xn О U(A).

Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

Определение 26 (определение предела последовательности). Число A называется пределом xn, если

" e > 0 $ N: " n > N |xn-A |< e

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности " (вместо слова "для любого") и квантор существования $ (вместо слова "найдется").

Предел числовой последовательности обозначается limn®Ґ xn = A или xn® A при n® Ґ. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Пример 18. Пусть xn = 1/n, покажем, что

limn® Ґ1/n = 0.
Для этого запишем определение:
" e>0 $ N: " n>N |xn|<e.
То есть 1/n<e при n>N=[1/e].

Пример 19.

xn = .
Доказать, что
limn ® Ґ = 1
" e >0 $ N: " n > N |-1| < e.
1/n < e Ю n > 1/e N = [1/e]
Если e = 1/10 , то N=10 и при n > 10 следует выполнение нужного неравенства.

Выясним геометрический смысл понятия предела последовательности. Расположим члены последовательности x1,x2,..., xn,... на числовой прямой. Неравенство |xn-A|<e равносильно следующему A- e < xn < A + e, которое говорит о том, что члены последовательности xn попадают в e - окрестность точки A (рис.13). Вне этой e -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.


Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

Определение 27 (бесконечно малая последовательность). Бе-
сконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0. То есть

limn ® Ґ xn = 0
или более подробно с учетом определения предела " e>0 $ N: " n>N |xn| < e Ю xn.

Пример 20. Последовательность xn = 1/n

является бесконечно малой последовательностью.

Определение 28 (бесконечно большая последовательность). xn – бесконечно большая последовательность, если " c>0 $ N: " n>N |xn|>c.

Пример 21. Последовательности n, 2n являются бесконечно большими.

Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако неограниченная не обязательно является бесконечно большой. Рассмотрим следующий пример.

Пример 22. Пусть xn = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная последовательность состоит из двух составляющих, а именно x2k-1 = 2k-1, x2k = 1/(k+1). Данная последовательность неограниченная, так как содержит неограниченную составляющую x2k-1 = 2k-1, но не является бесконечно большой, так как содержит вторую часть x2k = 1/(k+1).

Очевидно следующее утверждение.

Лемма 1. Если an — бесконечно малая последовательность, то 1/ an —бесконечно большая последовательность.

Пример 23. Пусть an = 1/n, которая является бесконечно малой, тогда последовательность b n = 1/a n = n будет бесконечно большой.

Теорема 5. Для того чтобы последовательность {xn} имела предел, равный A необходимо и достаточно, чтобы ее члены имели вид

xn = A+ an,
где
lim n ® Ґ an = 0.

Справедливы следующие свойства бесконечно малых последовательностей, которые легко получить из определения бесконечно малой последовательности.

Теорема 6. (свойства бесконечно малых последовательностей)

  1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
  2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Свойства предела последовательности.

Общие свойства.

Определение 29. Последовательность называется финально постоянной, если $ AО R и $ N, что для всех n>N xn = A.

Теорема 7. (свойства предела последовательности)

  1. Финально постоянная последовательность сходится.
  2. Если последовательность сходится, то предел единственен.
  3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

  1. Если xn = A при n>N, то для любой окрестности U(A) имеем xnО U(A) при n>N, то есть lim n®Ґxn = A.
  2. Пусть limn®Ґxn = A1 и limn® Ґxn = A2, A1 A2, тогда выберем e - окрестности точек A1, A2, так чтобы они не пересекались. В качестве e можно взять число e = 1/2|A1-A2|. По определению предела $ N1,N2, что при n>N1 xnО U(A1), а при n>N2 xnО U(A2). Следовательно, при n> max{N1,N2} xnО U(A1)З U(A2), что невозможно, так как U(A1)З U(A2) = Ж.
  3. Пусть limn®Ґxn = A, положим в определении предела e = 1, тогда " n>N |xn-A|<1 значит |xn|<|A|+1. Выберем C>max{|x1|,...,|xN|,
    |A|+1}, тогда получим, что при " nО N |xn|< C.

Арифметические операции над последовательностями.

Определение 30. Если xn,yn – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при yn 0 называются соответственно последовательности

{(xn± yn)},{(xnyn)},{(xn/yn}.

Справедлива теорема

Теорема 8 (предел суммы, произведения, частного). Пусть

limn®Ґxn = A, limn®Ґyn = B,
тогда
  1. limn®Ґ(xn± yn) = A± B;
  2. limn®Ґxnyn = AB;
  3. limn®Ґxn/yn = A/B, при B 0.

Доказательство данной теоремы опирается на результат теоремы 6.

Предел и неравенства.

Теорема 9. Если

limn ® Ґxn = A,
limn ® Ґyn = B,
и A<B, то $ N: " n>N xn<yn.

Теорема 10 (о трех последовательностях). Пусть последовательности xn, yn, zn удовлетворяют при любом n>N условию: xn Ј yn Ј zn, причем

limn ® Ґ xn = limn ® Ґ zn = A.
Тогда
limn ® Ґyn = A.

Доказательство. Согласно определению предела " e > 0 $ N1: " n>N1 выполняется A- e < xn < A+ e " e > 0 $ N2: " n > N2, A-e < zn < A+ e Если N = max(N1,N2), тогда при n>N получим A-e<xn Ј yn Ј zn < A+ e. Следовательно,

|yn-A|< e.



Следствие 2. Если все члены последовательности принадлежат отрезку [a,b], и $ limn ® Ґxn = c, то c О [a,b].

Фундаментальные последовательности.

Определение 31. Последовательность

xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " m>N, |xn-xm|< e Справедливо также и эквивалентное данному определение фундаментальной последовательности.

Определение 32 (последовательность Коши). Последователь
ность

xn называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 $ N: " n>N, " p-натурального, |xn+p-xn| < e

Теорема 11 (Критерий Коши). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Пример 24. Используя критерий Коши можно доказать, что последовательность (-1)n не имеет предела . Очевидно, что |xn-xn+1| = 2, поэтому если выбрать e = 1, то получим отрицание утверждения, что последовательность фундаментальна. А именно:

$ e>0, $ n>N, $ m>N, |xn-xm|іe.

Пример 25. Рассмотрим последовательность

xn = 1+1/2+1/3+....+1/n Для исследования на сходимость воспользуемся определением фундаментальности Так как |xn+p - xn| = 1/(n+1)+ ... + 1/(n+p) >p/(n+p) , то при p=n |xn+p - xn|>n/2n = 1/2 = e. Очевидно, что определение фундаментальной последовательности не выполняется. В силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.

Монотонные последовательности.

Определение 33.

  1. Последовательность xn возрастает (убывает), если " nО N xn<xn+1(xn>xn+1)
  2. xn не убывает (не возрастает), если " nО N xn Ј xn+1 (xn і xn+1)

Теорема 12 (теорема Вейерштрасса). Неубывающая последовательность сходится Ы когда она ограничена сверху.

Доказательство. Необходимость. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Достаточность. Пусть xn — ограниченная сверху последовательность.
Существует S = sup xn, то есть " e > 0 $ xN: xN > S - e. Так как последовательность неубывающая, то

" n > N Ю xn і xN Ю S - e < xN Ј xn Ј S < S + e. Следовательно, |xn - S| < e.



Пользуясь теоремой Вейерштрасса, можно доказать, что

lim n® Ґ(1+1/n)n = e. Доказательство данного факта можно посмотреть в книге В.А.Зорича " Математический анализ" часть I.

Пример 26. Рассмотрим последовательность xn = . Возрастание xn с ростом n следует непосредственно из формулы для xn. Докажем, что xn<2 " n. Доказательство можно провести по индукции. Заметим, что

x1<2, предположим, что xn<2 и покажем, что xn+1<2. Из формулы для xn следует, что xn+1 = , учитывая, что xn<2, получим, что xn+1<2. Тогда по теореме Вейерштрасса существует предел данной последовательности. Обозначим его через A. Для определения A перейдем к пределу в рекуррентном соотношении xn = +1. Тогда A = , отсюда A = 2. То есть lim n® Ґxn = 2.

Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.

Определение 34 (определение подпоследовательности). Как
мы уже знаем (см.определение последовательности) последовательность это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество nk, k = 1,2,..., nk<nk+1, то получим подпоследовательность xnk.

Пример 27.

xn = {n}=1,2,3,...,n,... xnk = {1,3,...,2n-1,...}

Определение 35 (определение частичного предела). Предел
любой подпоследовательности, если он существует, называется частичным пределом данной последовательности.

Определение 36. Частичный предел последовательности называется предельной точкой данной последовательности.

Иначе говоря справедливо следующее определение предельной точки последовательности.

Определение 37 (определение предельной точки). Точка

aО R называется предельной точкой последовательности xn, если в любой e – окрестности этой точки содержится бесконечно много элементов последовательности xn.

Замечание. Если последовательность сходится, то по теореме 7, она имеет единственную предельную точку. Если

xn не является сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и, вообще бесконечно много предельных точек).

Пример 28. Рассмотрим последовательность

xn = (-1)n. Так как x2k = 1, x2k+1 = -1, то данная последовательность имеет два частичных предела, или иначе говоря, две предельные точки. Если последовательность ограничена сверху, то множество всех частичных пределов тоже ограничено сверху. Можно доказать, что это множество обязательно содержит максимальный элемент. Этот максимальный элемент называется верхним пределом последовательности и обозначается limn®Ґxn.

Если последовательность не ограничена сверху, то

limn®Ґxn = +Ґ.

Аналогично определяется limn®Ґxn – нижний предел последовательности. Если последовательность не ограничена снизу, то

limn®Ґxn = -Ґ.

Определение 38. Нижним пределом последовательности называется наименьший частичный предел последовательности.

Верхним пределом последовательности называется наибольший частичный предел последовательности.

Условие существования предела последовательности эквивалентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой последовательности.

Вычисление верхнего и нижнего пределов последовательности сводится к тому, что выделяют сходящиеся подпоследовательности и сравнивают их пределы.

Пример 29. Пусть дана последовательность xn = n(-1)n, nО N. Так как x2k = 2k, x2k+1 = 1/(2k+1), то limn®Ґxn = +Ґ. и limn®Ґxn = 0.

Теорема 13 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Приложение последовательностей в экономике.

На финансовом рынке кредитор получает доход от предоставления денег в долг в виде, например, помещения денег на сберегательный счет, покупки акций, выдачи ссуды и т.д. Получаемый доход называется процентами и определяется кредитной ставкой.

Различают два вида процентных ставок – простые и сложные. Начисления при ставке простого процента предполагает применение ставки только к первоначальной сумме на протяжении всего срока долга. Пусть Sn - наращенная сумма долга через n периодов после предоставления ссуды в размере P денежных единиц, а простая ставка процента за период равна i процентов. Тогда в каждом периоде процентные начисления постоянны и равны (iP)/100. Найдем наращенную сумму долга в каждом из периодов:

S0 = P, S1 = P+(iP)/100 = P(1+i/100), Sn = Sn-1+(iP)/100 = P(1+((n-1)i)/100)+(iP)/100 = P(1+(ni)/100).
Данная формула

Sn = P(1+(ni)/100), n = 0,1,...,
называется формулой простых процентов, (1+(ni)/100) - множителем наращения.

Рассмотрим теперь как изменяется сумма долга при начислении сложного процента. В этом случае доход определяется применением процентной ставки к первоначальной сумме вместе с начисленными в предыдущих периодах процентами.

При первоначальной сумме P и сложной ставке за период начисления i% наращенная сумма меняется следующим образом:

S0 = P, S1 = P+(iP)/100 = P(1+i/100), S2 = S1+(iS1)/100 = S1(1+i/100) = P(1+i/100)2,
Sn = Sn-1+Sn-1(1+(i)/100) = P(1+i/100)n.
Формула
Sn = P(1+i/100)n, n = 0,1,2,..., (1)
называется формулой сложных процентов.

Пример 30. Пусть ссуда в 2000 рублей предоставляется на пять лет при простой ставке 3% годовых. Тогда наращенная сумма через пять лет составит

S5 = 2000(1+5· 0,03) = 2300
При той же ставке сложных процентов сумма через пять лет составит
S5 = 2000(1+0,03)5 = 2319
Очевидно, что сумма растет быстрее при сложной ставке процента, при этом рост будет выше при большей ставке процента.

Отметим, что формулы типа (1) используются в демографических расчетах (прирост народонаселения) и в экономических прогнозах (увеличение валового национального продукта).

Если предположить, что вклады вносятся каждый период, то по формуле (1) легко подсчитать общую сумме дохода.

S1+ S2 +···+Sn = P(1+i/100)+···+P(1+i/100)n =
=P(1+i/100)(1+ (1+i/100) +···+ +(1+i/100)n-1).
Используя формулу для нахождения суммы геометрической прогрессии, получим
G=P(1+i/100)((1+i/100)n-1)/(i/100). (2)

Пример 31. Университет производит замену персональных компьютеров каждые три года. При этом университет может выделять 30000 рублей ежегодно, размещая их под 8 % годовых. Какая сумма поступит в распоряжение университета по окончании трехлетнего срока?

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся формулой (2)

G = 30000· 1,08(1,083-1)/0,08=105183,36

Упражнение 1. Компании необходимо производить замену оборудования каждые 8 лет. Для этого выделяются определенные средства. Если компания может выделить 100000 рублей ежегодно и разместить их под 4% годовых, то какая сумма будет в ее распоряжении по окончании восьми лет?

Пусть первоначальный депозит Q0 помещен в банк под i=100% годовых, тогда через год сумма депозита удвоится. Предположим, что через полгода счет закрыт с результатом Q1 = Q0(1+1/2) = 3/2 Q0 и эта сумма снова помещается на депозит. В конце года депозит будет равен Q2 = Q0(1+1/2)2 = 2,25 Q0. Аналогично, при ежеквартальном размещении депозит в конце года будет равен Q3 = Q0(1+1/3)3» 2,37Q0. Если ежемесячно повторять ту же операцию, то Q12 = Q0(1+1/12)12» 2,61 Q0, при ежечасной операции Q8720 = Q0(1+1/8720)8720» 2,718 Q0. Заметим, что последовательность значений увеличения первоначального вклада Qn/Q0 совпадает с последовательностью xn = (1+1/n)n, предел которой равен e.

В общем случае, если i –процент начисления и год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита будет равна

Qn = Q0(1+i/(100n))nt
или
Qn = Q0((1+i/(100n))100n/i)(it)/100.
Введем новую переменную m=100n/i, при n® Ґ получим m ® Ґ.
limn® Ґ Qn = limm® Ґ((1+1/m)m)(it)/100 = Q0e (it)/100.
Данная формула называется формулой непрерывных процентов.

Пример 32. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода? Используем формулу сложных процентов (1)

Q=Q0(1-1/100)182,
или
Q=Q0((1-1/100)-100)-182/100» Q0e-1,82,
то есть инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Пусть в некоторый фонд вносится разовый взнос и лицо, которое произвело этот взнос получает определенные суммы денег через определенные промежутки времени. В такой ситуации наиболее распространенной формой выплаты является договор об аннуитете. Оценим стоимость аннуитета на момент заключения договора. Заметим, что данная задача является обратной для выше рассмотренной. Обозначим каждую выплату как S, процентную ставку как i%, а (1+i/100) = q, – процентный коэффициент, n – период действия аннуитета. По формуле (1) будем иметь текущую стоимость выплаты, произведенной в конце года n

Pn = S/qn.
Общая стоимость аннуитета V является суммой всех выплат:
V = S(1/q+1/q2+··· +1/qn)
Тогда используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получим
V = S(1/qn)((qn-1)/(q-1)) (3)

Пример 33. Определить текущую стоимость аннуитета при регулярных выплатах в размере 15000 рублей ежегодно в течение 5 лет и процентной ставке в размере 4% годовых.

Применяя формулу (3), получим

V = 15000((1,04)5-1)/(0,04· (1,04)5) = 66777

Для того, чтобы приобрести аннуитет, нужно заплатить один раз, и затем можно получать регулярные ежемесячные или ежегодные выплаты. В предыдущем примере текущая стоимость аннуитета равна 66777 рублей. Если Вам предлагают купить данный аннуитет за 60000 рублей, то данная стоимость его ниже текущей, и это выгодное предложение. Однако, если для получения ежегодных выплат в размере 15000 рублей Вам предлагают заплатить 73000 рублей, то следует проанализировать данное предложение.

Пример 34. Пусть стоимость аннуитета 73000 рублей, ежегодные выплаты равны 15000 рублей, процентная ставка 4% годовых. Сколько лет должны производиться выплаты, чтобы их стоимость превысила стоимость аннуитета?

Применяя формулу (3), получим

73000=15000(1/1,04n)((1,04n-1)/0,04)
или
1,04n = 1,2417219.
Отсюда
n» 6
Таким образом, аннуитет должен выплачиваться в течение не менее 6 лет, чтобы его стоимость превысила стоимость его приобретения.

Ипотечная ссуда также может рассматриваться с точки зрения аннуитета. Определенная сумма берется в долг, обычно для покупки дома или квартиры, и постепенно выплачивается на протяжении нескольких лет таким образом, что к концу срока возвращаются долг и проценты за него. Если сумма V берется в долг на срок n лет под i % годовых и q=(1+i/100), то ежегодная выплата будет определяться из формулы 3:

S=Vqn(q-1)/(qn-1).

Упражнение 2. Определить размер ежегодных выплат для ипотечной ссуды в 200000 рублей на срок 10 лет под 11% годовых.