664003, г. Иркутск, б. Гагарина, 20.
Тел.: (3952) 242214, 521298.
E-mail: olga@baikal.ru

История и методология математики для специальности "Математика"

Кафедра математического анализа:

Автор программы: доц. Марков С.Н.

Лектор: доцент Марков С.Н.

Цель преподавания дисциплины - знакомство студентов с исторической математикой, с историей происхождения и развития некоторых основных понятий и методов математики.

Место курса в профессиональной подготовке выпускника - Данный курс истории математики читается на заключительном этапе подготовки студентов и является общематическим курсом. Он тесно увязан с читаемыми ранее курсами математического анализа, алгебры и геометрии. Такие важные темы, как "Условия непрерывности суммы ряда непрерывных слагаемых" или "Классификация аналитически изобразимых функций" рассматриваются сначала в курсе математического анализа, а затем закрепляются в курсе истории математики. Рассмотрение в курсе истории математики элементов геометрии на проективной плоскости и элементов теории Галуа существенно дополняет основные курсы алгебры и геометрии. Многие задачи из рассмотренных ранее на практических занятиях по математическому анализу, алгебре и геометрии решаются в курсе истории математики различными историческими методами.

Требования к уровню освоения содержания курса.

  1. уметь дать краткую характеристику основных периодов в развитии математики,
  2. уметь с помощью литературы ответить на вопросы по курсу истории математики, сформулированные в конце глав,
  3. уметь с помощью выдаваемой им учебной и методической литературы решать типовые задачи исторической математики, увязывая их исторические решения с современными,

Содержание курса

Разделы курса - Курс содержит следующие основные разделы: "Предмет истории математики", "Число", "Алгебра", "Геометрия", "Анализ".

Темы курса и их краткое содержание - Что, как и на основе чего изучает история математики. Характер и значение исторической математики. Основные периоды в развитии математики. Происхождение натуральных чисел, натуральные числа как конечные кардинальные числа. Происхождение рациональных чисел, теория отношений пифагорейцев, открытие несоизмеримости. Происхождение отрицательных и комплексных чисел. Понятие величины у Евдокса, аксиомы и модели вещественных чисел. Создание алгебры как символического исчисления. Геометрическая алгебра пифагорейцев. Проблема решения в радикалах алгебраических уравнений. Некоторые пути формирования новой алгебры во второй половине XIX века. Происхождение первых геометрических фигур и тел. Геометрические сведения в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне. Превращение геометрии в дедуктивную систему. "Конические сечения" Аполлония. Создание аналитической геометрии. Создание классической дифференциальной геометрии. Геометрия на проективной плоскости. Предыстория проективной геометрии. Развитие проективной геометрии в первой половине XIX века. Проективная классификация типов геометрий по Клейну. Метод "исчерпывания" Евдокса, интегральные и дифференциальные методы Архимеда. Интегральные и дифференциальные методы в Европе первой половины XVII века. Создание основ дифференциального и интегрального исчисления в работах Ньютона и Лейбница. Проблема обоснования дифференциального исчисления. "Аналист" Дж. Беркли. Краткая характеристика дифференциального и интегрального исчисления в XVIII веке. Перестройка основ математического анализа в XIX веке. Интегралы Римана и Дарбу. Возникновение понятия меры множества. Мера и интеграл Лебега. Проблема восстановления примитивной функции. О преподавании основ анализа. История отечественной математики.

Примерные контрольные вопросы и задачи для самостоятельной работы.

Примерные вопросы:

  • Назовите четыре периода в развитии математики. Какие ступени в преподавании математики соответствуют этим периодам?
  • Что означает несоизмеримость? Почему открытие несоизмеримости привело к кризису философии и математики пифагорейцев? Назовите пути выхода из этого кризиса.
  • Объясните с точки зрения теории Галуа, почему задачи удвоения куба и трисекции угла не решаются построением с помощью циркуля и линейки?
  • Что такое аналитическая геометрия по форме и по содержанию?
  • В чём отличие вейерштрассовского определения интеграла от его определения по Лейбницу?
  • В чём состоит проблема обоснования дифференциального и интегрального исчисления?

Примерные задачи:

  • Покажите, что соимеримость есть отношение эквивалентности на множестве отрезков.
  • Покажите, что уравнение 3x5 - 25 x3 - 750x + 15 = 0 не разрешимо в радикалах.
  • Проведите элементарный вывод уравнения касательной к кривой y = xn при n - натуральном.
  • На числовой прямой указаны только точки 0, 2 и 3 . С помощью только линейки постройте точку 6.
  • Применяя механический приём Архимеда, найдите центр тяжести полушара.
  • Методом интегральных сумм Архимеда установите основное свойство логарифмической функции.
  • Методом "неделимых" докажите теорему Архимеда _ Паппа - Гульдина.
  • Методом "неделимых" выведите формулу интегрирования по частям.
  • Выведите аналог теоремы о предельном переходе в неравенстве в рассматриваемой формализации "исчисления дифференциалов" Лейбница.
  • Проведите доказательство теоремы Ферма о локальном экстремуме в рассматриваемой формализации "исчисления дифференциалов" Лейбница.

Примерная тематика рефератов, курсовых работ.

Становление и развитие понятия интеграла. метод интегральных сумм Архимеда, интегральные методы Кеплера, Ферма и Паскаля; интеграл Коши, интеграл Римана, интеграл Лебега; дальнейшее развитие понятия интеграла. механический приём Архимеда; метод "неделимых"; интеграл Лейбница; интеграл в формализации классического анализа бесконечно малых; интеграл в нестандартном анализе.

Становление и развитие понятия предела. Метод "исчерпывания" Евдокса; метод "первых" и "последних" отношений Ньютона; "исчисление нулей" Эйлера; понятие предела у Даламбера и Гурьева; понятие предела по Больцано - Коши - Вейерштрассу; общее (топологическое) определение предела.

Теория отношений. Теория отношений пифагорейцев; теория отношений у Евдокса; метод "первых" и "последних" отношений Ньютона; "исчисление нулей" Эйлера; отношение переменных величин и "о - символика".

Формирование элементов ТФДП. (по книгам Ф.А.Медведева, Н.Н.Лузина, Р. Бэра + "История математики. Анализ. Часть II")

Математика Древней Греции. (по книгам Г.Цейтена, И.Г. Башмаковой , М.Я. Выгодского, по работам Архимеда, по "Хрестоматии по истории математики" и др.)

Примерный перечень вопросов и задач к экзамену по всему курсу. Все 54 вопроса и около 160 задач, выносимые на экзамен, указаны в литературе [5-10], выдаваемой преподавателем каждому студенту. Примерный вариант билета на экзамене: Билет №13

  1. Объясните с точки зрения теории Галуа, почему задачи удвоения куба и трисекции угла не решаются с помощью циркуля и линейки.
  2. Укажите дескриптивное определение интеграла у Лебега. К чему свёл Лебег проблему интегрирования?
  3. "Куча, её 1/3, её 1/8 составляют 7". Определить величину "кучи" [5, стр. 24-25].
  4. Для алгебраического уравнения x3 - 6x - 6 = 0 укажите его резольвенту и радикальное выражение для корней, постройте группу Галуа и её композиционный ряд [5, стр. 55-68].
  5. Проведите элементарный вывод уравнения касательной к кривой y = xn при n - натуральном [5, стр. 82-84].
  6. Восстановите неверное доказательство по методу "неделимых" теоремы о том, что площадь параллелограмма равна произведению его сторон [7, стр. 21-22].
  7. Покажите, что функция Дирихле не входит в класс В1, но входит в класс В2 [8, стр. 12-14].
  8. Используя механический приём Архимеда, найдите центр тяжести сектора круга [7, стр. 11-13].
  9. В указанной формализации "исчисления дифференциалов" Лейбница найти интеграл от х3 по отрезку [0, 2] [7, стр. 39-42].

Распределение часов курса по темам и видам работ.

Аудиторные занятия
в том числе
№ Наименования Всего часов Лекции Семинары Самостоятельная работа
1 Предмет истории математики. Формы историко-математических исследований. Характер исторической математики. 2 2 - Основные этапы в развитии математики.История отечественной математики
2 Число. Происхождение натуральных чисел и построение совокупности кардинальных чисел. Теория отношений пифагорейцев, открытие несоизмеримости, определение величины по Евдоксу. Определение и различные модели вещественных чисел 4 4 - Происхождение отрицательных чисел. Происхождение мнимых и комплексных чисел.Вопросык главе "Число" [5 , стр. 41-42]
3 Алгебра.Геометрическая алгебра пифагорейцев, аналитический метод, первые неразрешимые задачи.Решение алгебраических уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени в радикалах. Проблема решения алгебраических ур-ний высших степеней в радикалах в работах Эйлера, Лагранжа, Коши, Руффини, Абеля и Галуа. Основная теорема теории Галуа. Решение задач геометрической алгебры пифагорейцев с точки зрения теории Галуа. Понятие о группе Ли обыкновенного дифференциального уравнения. 6 6 - Происхождение алгебраической символики.Алгебра Диофанта.Доказательство теоремы Руффини.Некоторые другие пути формированияновой алгебры во второй половине XIX века.Вопросык главе "Алгебра" [5 , стр. 74-75]
4 Геометрия.Создание аналитической геометрии.Введение кривых второго порядка, "Конические сечения" Аполлония.Элементы синтетической геометрии на проективной плоскости, теоремы Чевы, Менелая, Паппа, Дезарга, Паскаля, Брианшона, Аполлония - Штейнера, принцип двойственности.Ведение однородных проективных координат.Классификация типов геометрий по Клейну. 8 8 - Происхождение первых геометрических фигур и тел.Геометрические сведения в Древнем Египте и Вавилоне.Превращение геометрии в дедуктивную систему.Создание классической диффер-ной геометрии.Вопросык главе "Геометрия" [5 , стр. 126-127]
5 Анализ.Основные направления в развитии математического анализа.Механический приём Архимеда для нахождения площадей, объёмов и центров тяжести.Метод "неделимых".Классический анализ бесконечно малых и его формализация.Метод исчерпывания Евдокса, интегральные и жифференциальные методы Архимеда.Аналитически изобразимые функции. 10 10 - Интегральные методы Кеплера, Ферма и Паскаля.Дифференциальные методы Галилея - Роберваля, Декарта и Ферма. Теорема Барроу о связи между интегральными и дифференциальными методами.Интегралы Римана и Дарбу. Мера и интеграл Лебега.Вопросы к главе"Анализ" [5 , стр. 196-197]
- Итого 30 30 - -

Форма итогового контроля

В каждом билете на экзамене по 2 вопроса из числа вопросов в [5] к главам "Число", "Алгебра", "Геометрия", "Анализ" и по 7-10 задач и упражнений из [5-10].

Список литературы.

  1. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. - М.: Наука, 1970-1972. - Т. 1-3
  2. Математика XIX века. - М.: Наука, - Т. 1, 2, 3,..
  3. Хрестоматия по истории математики. - М.: Просвещение, 1976-1977. - Кн. 1, 2.
  4. сб. "Историко-математические исследования". - М.: ГТТИ - Наука.
  5. Марков С.Н. Курс истории математики. - Иркутск: изд-во ИГУ, 1995. - 248с. Историческое введение в теорию Галуа: методические указания. / Сост. Марков С.Н. - Иркутск: Иркутский университет, 1997.
  6. Историческое введение в анализ бесконечно малых: методические указания. / Сост. Марков С.Н. - Иркутск: Иркутский университет, 1997.
  7. История математики. Анализ. Часть II : методические указания. / Сост. Марков С.Н. - Иркутск: Иркутский университет, 1996.
  8. Дополнительные задачи по курсу истории математики: методические указания. / Сост. Марков С.Н. - Иркутск: Иркутский университет, 1997.
  9. Механический приём Архимеда для нахождения площадей, объёмов и центров тяжести: методические указания. / Сост. Марков С.Н. - Иркутск: Иркутский университет, 1993.
  10. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. - М.: Наука, 1989. - Т. 1. - 456с.
  11. Рыбников К.А. История математики. - 2-е изд. - М.: изд-во МГУ, 1974. - 456с.
  12. Песин И.Н. Развитие понятия интеграла. - М.: Наука, 1966. - 207с.
  13. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. - М. - Л.: ОГИЗ, 1946. - 247с.
  14. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. - М.: Наука, 1972. - 68с.
  15. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 1981 - 1983.
наша кафедра | наши координаты | получить консультацию