664003, г. Иркутск, б. Гагарина, 20.
Тел.: (3952) 242214, 521298.
E-mail: olga@baikal.ru

Программа спецкурса "Псевдообращение линейных операторов"

I Организационно-методический раздел

  1. Целью курса является ознакомление с различными понятиями обобщения обратных операторов, в частности обобщением понятия обратной матрицы.

  1. Задача данного курса — познакомить с основными понятиями псевдообратных операторов, привить навыки использования этих понятий при решении задач и упражнений.

  1. Данный спецкурс предназначен для студентов 3-4 курсов специальности "Математика". Разделы, касающиеся теории псевдообратных матриц, могут быть рассмотрены на семинарах и кружках для студентов 2 курса.

II Содержание курса

1. Разделы курса

  • Обобщенная обратная матрица
  • Обобщенный обратный оператор в гильбертовом пространстве
  • Обобщенный обратный оператор в банаховом пространстве

2. Темы и краткое содержание

  • Обобщенная обратная матрица Мура-Пенроза. Основные определения псевдообратной матрицы и ее свойства.
  • Вычисление псевдообратной матрицы. Скелетное разложение матриц.
  • Наилучшее приближенное решение уравнения. Определение наилучшего приближенного решения. Свойства наилучшего приближенного решения.
  • Производная от псевдообратной матрицы.
  • Обобщенный обратный оператор в гильбертовом пространстве. * Основные определения. Свойства псевдообратного оператора.
  • Определения Мура и Пенроза псевдообратного оператора. Эквивалентность этих определений.
  • Обобщенный обратный для ограниченного оператора с произвольной областью значений. Основные свойства.
  • Примеры построения псевдообратных операторов.
  • Фредгольмов оператор. Лемма Шмидта. Определения нормально разрешимого оператора, фредгольмова оператора. Специальные разложения банаховых пространств. Лемма Шмидта.
  • Жордановы цепочки и наборы фредгольмовых и нетеровых операторов. Определения жордановых цепочек для фредгольмовых и нетеровых операторов. Основные свойства жордановых цепочек. Определение полноты жорданова набора. Теоремы существования полного жорданова набора.
  • Обобщенный обратный оператор в банаховом пространстве и его свойства. Теорема Nashed'а, следствия из теоремы. Свойство замкнутости псевдообратного оператора.
  • Оператор Шмидта и его связь с псевдообратным оператором. Правильные операторы и их обращения. Определения проекторов в нормированном пространстве. Определение правильного оператора. * Теорема существования псевдообратного оператора для правильного оператора.
  • Исследование дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при главной части. Применение теории псевдообратных операторов при решении сингулярных дифференциальных уравнений. Использование коммутируемости операторов при решении вырожденных дифференциальных уравнений. Теорема существования решения вырожденного дифференциального уравнения. Пример из теории упругости, иллюстрирующий приложение основных понятий из теории вырожденных дифференциальных уравнений и псевдообратных операторов.
  • Решение дифференциальных уравнений с нетеровым оператором при главной части. Исследование сингулярных уравнений с нетеровым оператором при старшей производной с использованием теории псевдообратных операторов.

3. Тематика курсовых работ.

  • Вычисление псевдообратной матрицы с использованием определений Мура и Пенроза.
  • Псевдообратная матрица Дразина и ее связь с псевдообратной и матрицей Шмидта.
  • Применение псевдообратной Дразина в теории оптимального управления.
  • Обобщенная обратная матрица Мура-Пенрозаи ее свойства.
  • Вычисление псевдообратной матрицы.
  • Наилучшее приближенное решение уравнения.
  • Обобщенный обратный оператор в гильбертовом пространстве. Фредгольмов оператор. Лемма Шмидта.
  • Жордановы цепочки и наборы фредгольмовых и нетеровых операторов.
  • Правильные операторы и их обращения.
  • Исследование дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при главной части.

4. Распределение тем по часам

Наименование тем Всего часов Лекции
Обобщенная обратная матрица Мура-Пенроза 2 2
Вычисление псевдообратной матрицы 2 2
Наилучшее приближенное решение уравнения 2 2
Производная от псевдообратной матрицы 2 2
Обобщенный обратный оператор в гильбертовом пространстве 4 4
Определения Мура и Пенроза псевдообратного оператора 2 2
Обобщенный обратный для ограниченного оператора с произвольной областью значений 2 2
Примеры построения псевдообратных операторов 4 4
Фредгольмов оператор. Лемма Шмидта 2 2
Жордановы цепочки и наборы фредгольмовых и нетеровых операторов 2 2
Обобщенный обратный оператор в банаховом пространстве и его свойства 2 2
Оператор Шмидта и его связь с псевдообратным оператором 2 2
Правильные операторы и их обращения 2 2
Исследование дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при главной части 2 2
Решение дифференциальных уравнений с нетеровым оператором при главной части 2 2
Итого 36 36

5. Рекомендуемая литература

  1. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.- М.Наука, 1969.
  2. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.Наука, 1980. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. - М.Наука, 1976.
  3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.Наука, 1966.
  4. Nashed M.Z. Generalized Inverses and Applications. N.Y., 1976.
  5. Groetsch C.W. Generalized Inverses of Linear Operators.N.Y., 1977.
  6. Campbell S.L., Meyer C.D. Generalized Inverses of Linear Transformation.
  7. Бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений. - Новосибирск, Наука, 1996.
  8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М. Наука, 1988.
  9. Sidorov N.A., Romanova O.A. Difference-differential equations with Fredholm operator TW 243, 1996.
  10. Романова О.А. Псевдообращения линейных операторов и их приложения.-Методическое пособие, Иркутск,1997.

Автор программы спецкурса Романова О.А., к.ф.м.н., доцент ИГУ.

Рецензент Сидоров Н.А., д.ф.м.н., профессор ИГУ.

наша кафедра | наши координаты | получить консультацию